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出版者:同济大学

作者:同济大学函授数学教研室 编

出品人:

页数:220

译者:

出版时间:2009-4

价格:20.00元

装帧:

isbn号码:9787560825335

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
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深入探索数论的奥秘：一部面向初学者的引路之作 书名： 离散结构与数论导论 作者： 王建国 教授，李明 博士 出版社： 知识之光出版社 出版日期： 2024年5月 --- 内容概要 《离散结构与数论导论》旨在为理工科本科生、计算机科学专业学生以及对数学基础感兴趣的自学者，提供一套全面且易于理解的离散数学和初等数论的入门教材。本书的特色在于，它不仅仅是理论知识的堆砌，更注重将抽象的数学概念与实际应用场景紧密结合，尤其侧重于为后续学习如算法设计、密码学和理论计算机科学打下坚实的数学基础。 全书共分为十五章，结构清晰，逻辑严谨，力求在保证数学严密性的同时，降低读者的初学门槛。 --- 第一部分：离散数学基础（第1章至第7章） 本部分着重于构建离散数学的基石，为理解现代计算和逻辑推理打下基础。 第1章：集合论与逻辑基础 本章从集合的基本运算（并、交、差、幂集）入手，详细阐述了皮亚诺公理体系在集合定义上的初步应用。随后，深入探讨命题逻辑和谓词逻辑。我们不仅涵盖了真值表、逻辑等价、范式（合取范式与析取范式），还特别引入了自然演绎推理系统，并通过图灵机的停机问题作为引入，展示逻辑推理在可计算性理论中的重要性。书中包含大量关于集合划分、关系与函数性质的实例分析，强调了构造性证明的方法。 第2章：关系与函数 本章深入研究集合之间的关系。除了自反、对称、反对称和传递性之外，重点讲解了等价关系、偏序关系及其哈斯图的绘制方法。拉克的应用（如数据库中的关系规范化）被用作理解等价关系的实际模型。关于函数的部分，不仅讨论了单射、满射、双射，还详细分析了函数的复合、逆函数以及在集合论中定义自然数和有限集的方法。 第3章：计数原理：组合数学的开端 计数是离散数学中的核心技能。本章系统介绍了加法原理和乘法原理，并详尽地讲解了排列与组合（带重复与不重复，允许/不允许顺序）。重点内容包括二项式定理的推导与应用，以及帕斯卡三角的性质。最后，引入了鸽巢原理及其在证明中的巧妙应用，特别展示了它在构造性算法中的价值。 第4章：更高级的计数技巧 本章拓展了第三章的内容，引入了生成函数（Generating Functions）作为解决复杂计数问题的强大工具。我们详细推导了指数型生成函数，并演示了如何利用它们来解决与排列相关的组合问题。此外，还涵盖了容斥原理，并提供了详尽的例子，如错排问题（Derangements）的精确计算方法。 第5章：递归关系与迭代方法 本章聚焦于如何用递归关系来描述序列和问题。涵盖了一阶和二阶齐次线性常系数递归关系，并详细介绍了特征方程法的求解步骤。对于非齐次关系，本书提供了迭代法和未定系数法。通过斐波那契数列、汉诺塔问题和各种背包问题的变种，巩固了递归思维。 第6章：图论入门：结构与连接性 图论是离散数学中最具视觉冲击力的分支。本章介绍了图的基本术语（顶点、边、度、路径、回路）。重点分析了连通性、欧拉图和哈密顿图的存在性定理。树的概念被作为无环连通图来深入探讨，包括生成树、最小生成树（Kruskal算法和Prim算法的算法描述与复杂度分析）。 第7章：图论进阶：着色与平面性 本章探讨了图论的更深层次问题。首先介绍了图的着色问题，尤其是四大颜色定理的背景介绍和实际应用（如资源分配）。其次，详细讨论了图的平面性判断，包括库拉托夫斯基定理的介绍。最后，简要介绍了流与割的概念，为读者后续学习网络流算法打下基础。 --- 第二部分：初等数论的精粹（第8章至第15章） 本部分从整数的性质出发，逐步深入到现代密码学和代数结构的基础。 第8章：整除性与素数基础 本章是数论的起点。详细讲解了欧几里得除法、最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）。重点在于对欧几里得算法（辗转相除法）的深入剖析，并展示了如何使用扩展欧几里得算法来求解线性丢番图方程。素数的定义及其重要性被强调，引入了素数定理的直观理解。 第9章：同余关系与模运算 同余是数论中的核心概念。本章详细定义了同余关系 $equiv pmod{m}$，并推导了其基本性质。内容涵盖模运算的性质、线性同余方程的求解，以及如何利用同余关系来简化复杂计算。中国剩余定理（CRT）被作为本章的亮点，提供了求解多重同余方程组的系统方法，并配有详尽的代数推导。 第10章：费马小定理与欧拉定理 本章深入探讨了与乘法群相关的基本定理。首先详细阐述了费马小定理，并展示了其在验证素性（费马素性检验）中的初步应用。随后，引入了欧拉函数 $phi(n)$ 的计算方法及其性质，并完整地推导和证明了欧拉定理。这些定理是现代公钥密码学（如RSA）的理论基石。 第11章：原根与指数 本章讨论了模 $n$ 剩余类中的乘法结构。定义了阶的概念，并详细讲解了原根（Primitive Roots）的存在条件及其性质。通过对模幂运算的性质分析，展示了原根在离散对数问题中的基础作用，虽然没有深入到计算复杂度，但为密码学概念的引入做了充分的准备。 第12章：二次剩余与二次互反律 本章进入高等数论的初步领域。定义了二次剩余的概念，引入了勒让德符号和雅可比符号。本章的核心是高斯关于二次互反律的证明，该证明过程严谨而富有技巧性，是数论美学的体现。通过实例展示了如何利用互反律快速判断一个数是否为模素数的二次剩余。 第13章：线性丢番图方程与不定方程 本章将第8章的线性方程推广到更一般的形式。系统讲解了 $ax + by = c$ 型方程的求解步骤和通解形式。同时，引入了简单的二元二次不定方程（如佩尔方程 $x^2 - Dy^2 = 1$）的初步分析，展示了如何利用连续分数展开来寻找其基本解，尽管未涉及连续分数的完整理论，但其应用是明确的。 第14章：斯托克算法与素性检验 本章着眼于计算数论的应用。详细介绍了确定性素性检验算法（如米勒-拉宾检验的原理与缺陷，以及AKS算法的理论意义）。通过这些现代算法的介绍，读者可以体会到理论数论与实际计算的紧密联系。书中还包括了如何利用大数分解的难度来构建加密系统的直观介绍。 第15章：初探代数结构：环与域的初步概念 作为过渡章节，本章引入了抽象代数的初步概念，将数论中的运算结构提升到更普遍的层面。讨论了整数环 $mathbb{Z}$ 的性质，并定义了模 $n$ 的整数环 $mathbb{Z}_n$。重点分析了哪些 $mathbb{Z}_n$ 构成域（Field），为后续学习抽象代数课程打下基础，并再次强调了这些结构在编码理论和密码学中的潜在价值。 --- 本书特色 1. 应用驱动： 每章的关键理论点后，均配有至少一个来自计算机科学或信息安全领域的具体应用案例。 2. 证明清晰： 复杂的定理（如欧拉定理、二次互反律）均提供详细的、分步的证明，侧重于数学思维的培养而非死记硬背。 3. 习题丰富： 全书包含超过800道习题，难度梯度合理，覆盖从基础概念检验到复杂证明题的各个层面。每章末尾设有“挑战性思考题”。 4. 语言平实： 避免过于晦涩的数学术语，力求用直观易懂的语言阐释抽象概念，非常适合初学者自学。 《离散结构与数论导论》是通往严谨数学思维和现代计算科学理解的坚实桥梁。它将帮助读者建立起解决离散问题的分析能力，并领略数论作为“数学的女皇”的内在魅力。

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