具体描述
本书是面向大学非数学专业的“大学公共数学系列教材”中的一本，本书有如下特色：
(1)在基本保持传统体系和经典内容的同时，注意渗透现代数学思想、概念和方法，在内容的处理方面力求大胆创新。
(2)注重理论联系实际，适当介绍一些数学建模思想、数值计算方法及MATLAB软件的使用方法，使学生感悟到数学与现代计算机技术的有机联系，并体验到用数学知识解决实际问题的过程。
(3)加强分析、代数、几何之间有机联系，使学生对数学的统一性有初步认识。
本书分上、下两册出版。下册内容包括：向量代数与空间解析几何，多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、向量分析与场论初步、含参变量的积分、傅里叶级数、微分方程及一个附录：MATLAB简介及数学实验。本书可适用于非数学专业学生作为微积分教材使用。
数学分析基础：从极限到级数（上册） 面向对象： 大学数学系本科生、理工科专业高年级学生、对高等数学有深入探究需求的自学者。 核心理念： 本书旨在构建严谨而直观的数学分析理论体系，重点聚焦于函数、极限、连续性、导数、积分等核心概念的精确定义、内在联系及基本应用。我们力求在保证数学严谨性的前提下，通过精心设计的例题和习题，引导读者建立起对微积分学的深刻理解，为后续深入学习泛函分析、拓扑学等高级数学分支打下坚实的基础。 --- 第一部分：预备知识与实数系统（约 200 字） 在正式进入微积分的核心领域之前，本书首先对支撑整个分析学的根基——实数系统——进行一次系统的梳理与回顾。 第一章：实数系统与逻辑基础 本章首先温习集合论的基本符号与语言，重点在于实数集的完备性公理。我们将详细阐述上确界原理（Supremum Principle）及其在实数系统中的关键地位，并以此为基础，严格证明有理数集、无理数集在实数轴上的分布情况。此外，还将介绍基本的逻辑推理结构，为后续证明的严谨性做铺垫。本章强调的不是计算技巧，而是理解“数”本身的精确内涵。 --- 第二部分：极限与连续性——分析的基石（约 400 字） 本部分是理解所有分析学概念的起点。我们将用 $epsilon-delta$ 语言构建起分析学的全部框架。 第二章：序列的极限 本章严格定义数列的概念，并基于 $epsilon-N$ 语言定义数列的极限。我们将详细讨论极限的性质，包括极限的唯一性、保序性等。重点内容是单调有界定理（Monotone Convergence Theorem）的深刻阐述及其应用，这是连接有界性与收敛性的桥梁。随后，我们将引入柯西收敛准则（Cauchy Criterion），指出数列收敛的内在判据，并讨论子列的概念以及 Bolzano-Weierstrass 定理的初步应用。 第三章：函数的极限与连续性 在掌握了数列极限的基础上，本章将泛化至函数的极限。严格定义 $epsilon-delta$ 语言下的函数极限，并探讨单侧极限、无穷极限以及自变量趋于无穷时的极限。关键在于清晰区分函数极限与数列极限的定义差异。 紧接着，我们将定义函数在一点的连续性，并将其推广到区间上的连续性。本章的亮点在于对连续函数性质的深入探讨：闭区间上的有界性与最值定理（Extreme Value Theorem）和闭区间上的介值定理（Intermediate Value Theorem）。这些定理不仅是理论基石，也是后续积分理论的重要预设条件。本章还会初步讨论一致连续性（Uniform Continuity）的概念，为下一步的积分理论做准备。 --- 第三部分：导数——瞬时变化率的精确描述（约 450 字） 本部分将变化率这一直观概念转化为严谨的数学工具——导数。 第四章：导数的定义与基本运算 本章从平均变化率出发，严谨定义函数在某点处的导数（即极限存在时的变化率）。我们将详细讨论导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度）。随后，系统推导和证明基本微分法则：和、差、积、商的求导法则。尤其需要强调的是链式法则（Chain Rule）的严谨证明，它是处理复合函数求导的关键。 第五章：微分中值定理的深刻内涵 本章是导数理论的精髓所在。首先介绍费马定理（Fermat’s Theorem），即极值点的必要条件。随后，我们将严格证明三个核心的中值定理： 1. 罗尔定理 (Rolle's Theorem)： 揭示函数在两端点值相等时，导数在区间内至少存在一个零点的规律。 2. 拉格朗日中值定理 (Lagrange’s Mean Value Theorem)： 导数是平均变化率的精确体现，是所有微分学证明的“万能钥匙”。 3. 柯西中值定理 (Cauchy’s Mean Value Theorem)： 为洛必达法则的严谨推导奠定基础。 基于这些定理，本章将讨论导数的应用，包括函数单调性的判断、函数的极值与凹凸性（二阶导数分析）、利用洛必达法则求不定式极限。 --- 第四部分：积分的概念与基本性质（约 400 字） 本部分从“求面积”这一几何问题出发，构建黎曼积分的理论框架。 第六章：黎曼可积性的定义 本章将面积问题转化为“和”的极限问题。首先介绍分割、上和、下和的概念，进而定义黎曼上和与黎曼下和。严格定义黎曼可积性的判据——上、下和差趋于零的条件。 本章的重点在于分析可积函数的类别。我们将证明所有连续函数在闭区间上都是黎曼可积的，并探讨间断点个数与可积性的关系（如振幅概念的应用）。最后，介绍可积函数的代数性质和保序性。 第七章：牛顿-莱布尼茨公式与微积分基本定理 本章是连接微分学与积分学的桥梁——微积分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus) 的核心展示。我们将分两部分严格证明该定理： 1. 牛顿-莱布尼茨公式的下部分： 证明定积分的上限函数是原函数。 2. 牛顿-莱布尼茨公式的上部分： 利用中值定理证明原函数的导数是原被积函数。 基于此，本章系统介绍定积分的计算方法，包括换元法和分部积分法（其严格推导直接来源于微分的乘法定律）。最后，讨论定积分在几何（弧长、面积）和物理问题中的初步应用。 --- 总结与展望（约 100 字） 本书的上册内容，严格遵循了从实数系统出发，依次构建极限、连续性、导数和黎曼积分的分析学标准路径。通过严密的逻辑推导，读者将能够掌握高等数学中最为核心和基础的理论工具。接下来的“下册”将在此坚实的基础上，探讨更具挑战性的序列与函数的收敛性、幂级数、多变量函数以及更广义的积分理论（如反常积分）。
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