具体描述
《生态学名词2006》是南开大学数学系老师在多年教学经验的基础上编写而成的，是一本大学数学系基础课程的教材。《生态学名词2006》分上、下两册，介绍了数学分析的基本内容。上册内容主要包括实数与函数、极限、连续函数、导数及其应用、不定积分、定积分及其应用、数项级数、广义积分、函数项级数；下册内容主要包括多元函数的极限与连续、多元函数的微分学、参变量积分、重积分、曲线积分与曲面积分。《生态学名词2006》每章中都附有丰富的习题：供学生练习之用。第二版在第一版的基础上作了修订，对部分题目作了解答，使《生态学名词2006》更具适用性。
《几何变换与拓扑学基础》 作者： 李明，王芳 出版社： 科学出版社 出版时间： 2023年10月 ISBN： 978-7-03-076543-2 定价： 198.00元 --- 内容简介 《几何变换与拓扑学基础》是一部深入浅出、系统严谨的数学专著，旨在为读者构建一个坚实的现代几何与拓扑学理论框架。本书聚焦于空间结构、形变的不变性、以及连续性在更高维度空间中的本质描述，理论深度适中，力求在严谨的数学推导和直观的几何理解之间取得完美的平衡。 本书共分三大部分，二十章，内容涵盖了从经典欧几里得几何的深化到现代微分拓扑学的初步探索。我们相信，理解“形”如何变化而不失其本质特征，是现代数学和物理学理解世界的基本工具。 第一部分：欧氏空间中的刚性与变换（第1章至第7章） 本部分从读者熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 出发，系统梳理了线性代数与空间几何的交叉点。重点阐述了保持距离和角度不变的变换，即刚体运动（刚性变换）。 第1章：欧氏空间回顾与度量 重新审视内积空间、范数与距离的定义。引入了内点、边界、开集和闭集的基本拓扑概念，为后续的抽象拓扑打下直观基础。 第2章：刚体运动的代数结构 深入探讨正交群 $O(n)$ 和特殊正交群 $SO(n)$（旋转群）。详细分析了旋转矩阵的性质，包括其特征值和不动点集（轴或平面）。 第3章：欧氏空间中的等距变换 结合线性变换和向量平移，刻画了所有等距变换的结构。证明了任意两个固定的点集之间的等距变换的唯一性（在有向或无向情况下）。 第4章：相似变换与仿射变换 引入了保持角度（相似变换）和保持直线与平行性（仿射变换）的几何变换。研究了仿射空间的定义，以及仿射变换群的性质。 第5章：线性变换的几何意义 侧重于讲解线性变换如何拉伸、剪切、投影空间。讲解了行列式的几何意义（体积变化因子）和特征子空间的物理意义。 第6章：规范形与相似性 讨论了矩阵在相似变换下可以被化简到的标准形式，如Jordan标准型，并阐释了这些规范形如何反映了变换在特定基下的几何特性。 第7章：刚体运动在物理中的应用 简要探讨了刚体运动在机器人学和刚体力学中的应用，例如万向节死锁问题的几何解释。 第二部分：度量空间与拓扑空间的建立（第8章至第14章） 本部分是本书的核心，致力于从具体的度量空间抽象到最基础的拓扑空间概念，这是现代分析学和拓扑学的基石。 第8章：度量空间的严格定义 形式化定义度量空间 $(X, d)$，并举例说明各种重要的度量，如离散度量、曼哈顿度量（$L_1$）、欧几里得度量（$L_2$）以及均匀度量。 第9章：开球、邻域与收敛性 在度量空间中严格定义开集、闭集、闭包和内部。深入分析点列的收敛性，并引入柯西序列的概念。 第10章：完备性与拓扑的生成 引入完备度量空间的概念，解释了为什么完备性在分析中至关重要（例如Baire范畴定理的初步探讨）。 第11章：拓扑空间的公理化 引入拓扑空间 $(X, mathcal{T})$ 的抽象定义，即开集的集合族。展示了如何从度量诱导出拓扑，以及并非所有拓扑都可由度量诱导（非度量化空间）。 第12章：连续性与拓扑同胚 给出连续映射的拓扑定义（原像下保持开集性）。定义拓扑同胚（Homeomorphism），并说明拓扑同胚是拓扑学的研究对象——即形变的不变量。 第13章：连通性与路径连通性 探讨空间的“一块”的性质。定义连通空间，证明开区间是连通的。引入路径连通性，并证明在 $mathbb{R}^n$ 中，连通性等价于路径连通性。 第14章：紧致性 紧致性是拓扑学中最强大的概念之一。给出紧致集的定义（任意开复盖存在有限子复盖）。证明在 $mathbb{R}^n$ 中，Heine-Borel定理的等价性，以及紧集在连续映射下的像依然是紧集。 第三部分：基本不变量与初步的代数拓扑（第15章至第20章） 本部分将抽象的拓扑概念应用于对空间进行区分和分类，引入了第一代拓扑不变量。 第15章：商拓扑空间 讲解如何通过等价关系构造新的拓扑空间，即商空间。通过构造“圆环”和“球面”的例子，展示了商拓扑在几何构造中的关键作用。 第16章：基本群（路径群）的引入 介绍代数拓扑的第一个工具：基本群 $pi_1(X, x_0)$。定义路径、路径的乘法和同伦概念。 第17章：计算简单连通空间的 $pi_1$ 针对欧氏空间、凸集等简单连通空间，证明其基本群是平凡群 ${e}$。 第18章：圆周 $S^1$ 的基本群 详细计算圆周的基本群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$。这涉及到一个关键的“提升映射”的构造，为读者理解更高维的同伦群打下基础。 第19章：分类空间：可区别的拓扑空间 讨论如何利用拓扑不变量来区分两个空间是否拓扑同胚。如果两个空间的基本群不同，则它们必然不是拓扑同胚的。 第20章：流形的概念简介 简要介绍 $n$ 维流形（Manifold）的定义：一个局部看起来像 $mathbb{R}^n$ 的拓扑空间。通过球面 $S^n$ 和环面 $T^2$ 作为实例，展望微分拓扑学的广阔前景。 本书特色 1. 理论与直觉并重： 每引入一个抽象定义，都紧密结合欧氏空间或度量空间中的直观例子进行解释和验证。 2. 严谨的逻辑链条： 从基础的线性代数出发，平滑过渡到拓扑公理化，确保读者能清晰追踪每一步的数学推导。 3. 聚焦不变性： 强调几何变换的核心思想——哪些性质在变换下得以保持，这贯穿全书始终。 4. 前沿性导引： 最终引向代数拓扑的核心工具——基本群，为后续学习微分几何或代数拓扑奠定坚实基础。 适用对象 本书适合高等院校数学、物理学、工程学及计算机科学专业的高年级本科生和研究生作为教材或参考书。对实分析或抽象代数有初步了解的读者将能更好地吸收本书内容。对于有志于从事几何、拓扑、广义相对论或现代控制理论研究的读者，本书提供了不可或缺的理论准备。
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