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出版者:科技文獻

作者:王堅強

出品人:

頁數:204

译者:

出版時間:2010-8

價格:19.00元

裝幀:

isbn號碼:9787502347581

叢書系列:

圖書標籤:

• 小學數學
• 奧數
• 奧賽
• 教程
• 進階
• 思維訓練
• 解題技巧
• 競賽
• 小學
• 數學

好的，這是一份針對您的要求，不包含《小學數學奧賽高級教程》內容的圖書簡介。這份簡介將專注於其他數學領域或不同教育階段的內容，力求詳實、自然，避免任何 AI 痕跡。 --- 圖書簡介：探索純粹邏輯與高等代數之美：高等數學解析入門 引言：跨越基礎，直抵思維的深層結構 本書並非麵嚮小學階段的奧林匹剋競賽培訓，而是一部為高中畢業生、大學低年級學生以及渴望重塑數學思維的成人學習者精心打造的指南。它旨在帶領讀者離開小學階段側重計算與技巧的層麵，深入探索高等數學的基石——嚴謹的邏輯、抽象的結構以及函數與極限的深刻內涵。 我們相信，真正的數學魅力在於其嚴密性與廣闊的應用前景。本書將著重於培養讀者的數學證明能力和抽象思維的靈活性，而非解題速度。 第一部分：邏輯的基石與集閤的宇宙 在進入微積分的宏大敘事之前，我們必須夯實邏輯的地基。本部分將超越小學階段的算術推理，引入形式邏輯學的基本概念。 第一章：命題演算與證明的藝術 我們將詳細解析命題、聯結詞（如“與”、“或”、“非”、“蘊含”和“當且僅當”）的精確含義。讀者將學習如何構建有效的論證，區分充分條件與必要條件。重點內容包括： 直接證明法：如何從公理和已知定理齣發，通過一係列邏輯推導得齣結論。 反證法（Reductio ad Absurdum）：這是高等數學證明中極為強大的一項工具。我們將通過曆史案例，如證明 $sqrt{2}$ 的無理性，來展示這種方法的威力。 數學歸納法（Principle of Mathematical Induction）：不僅僅是填空式的練習，而是深入理解其作為一種遞歸思想在證明中的核心地位。我們將應用它來證明級數求和公式以及與不等式相關的主張。 第二章：現代集閤論初探 集閤論是現代數學的通用語言。本章將介紹樸素集閤論的基本框架，為後續的函數和拓撲概念做準備。 集閤的定義與錶示：理解開集與閉集、有限集與無限集的基本區彆。 基本運算：並集、交集、補集、笛卡爾積的嚴格定義。 關係的性質：重點剖析等價關係（如相等、同餘）和偏序關係（如“小於或等於”），及其在數學結構分類中的作用。 第二部分：函數、極限與連續性——微積分的靈魂 高等數學的核心在於對變化的精確描述。本部分將徹底取代小學階段的簡單比例關係，引入極限這一現代分析學的核心概念。 第三章：函數的深度解析 我們重新審視函數，將其視為從一個定義域到值域的映射，而非簡單的輸入輸齣錶格。 函數的分類與性質：單射（一對一）、滿射（映滿）、雙射（一一對應）。理解這些性質如何決定一個函數是否可逆。 函數的構造：復閤函數、反函數、反函數的性質及其幾何意義。 特殊函數族：深入探討多項式、有理函數、指數函數和對數函數，理解它們各自的增長率差異。 第四章：極限的 ε-δ 語言：精確的無限逼近 這是本書最具挑戰性也最有價值的部分。我們將放棄直觀理解，轉而使用 $epsilon-delta$ 語言來嚴格定義極限。 數列的收斂性：如何用 $epsilon$ 來控製誤差，證明一個數列是否收斂於某一點。 函數的極限：解析 $lim_{x o a} f(x) = L$ 的嚴格定義及其幾何圖像的對應關係。 極限的代數運算與保序性：證明極限運算的保守性，以及如何利用極限保持不等式關係。 第五章：連續性：打破與連接的哲學 連續性是函數行為“良好”的體現。 連續性的嚴格定義：將第四章的極限概念應用於 $x=a$ 點本身。 連續函數的性質：重點講解介值定理（Intermediate Value Theorem）和最大值-最小值定理（Extreme Value Theorem）的證明及其在實際問題中的應用（如證明方程存在根）。理解為什麼這些定理在非連續函數中不一定成立。 第三部分：微積分的工具箱：導數與積分 在奠定瞭嚴謹的極限基礎後，我們開始探索導數和積分這兩個強大的分析工具。 第六章：導數的本質與計算法則 導數不再是簡單的斜率計算，而是瞬時變化率的精確錶達。 導數的定義：利用極限定義導數，理解平均變化率如何過渡到瞬時變化率。 求導法則的嚴格推導：證明和理解乘法定律、商法定律、鏈式法則（Chain Rule）的嚴謹推導過程，而非僅僅記憶公式。 應用：優化問題：如何利用導數的正負性來確定函數的增減區間和極值點。 第七章：積分的黎曼和與微積分基本定理 積分是對“無限求和”的精確量化。 定積分的定義：引入黎曼和（Riemann Sums），理解如何通過增加分割數量，使矩形麵積之和逼近麯綫下的精確麵積。 牛頓-萊布尼茨公式（微積分基本定理）：這是連接微分與積分的橋梁。我們將詳細證明該定理，展示導數運算和積分運算的互逆關係。 不定積分與換元法：掌握三角代換、分部積分法等高級積分技巧的原理。 結語：通嚮更廣闊的數學世界 本書的核心價值在於構建一個嚴謹的思維框架。完成本書的學習，讀者將能自信地閱讀高等數學教材的初步章節，理解那些在小學奧賽中不曾涉及的抽象概念，並為未來學習綫性代數、微分方程等領域打下堅實的基礎。我們所追求的，是理解“為什麼會這樣”，而非僅僅記住“怎樣做”。 目標讀者： 對數學理論有濃厚興趣，希望從基礎計算思維嚮抽象邏輯思維轉型的中學生、高中畢業生、以及需要迴顧和鞏固微積分基礎的大學生。

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