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出版者:华东师范大学出版社

作者:熊斌等编

出品人:

页数:345

译者:

出版时间:2004-7

价格:15.0

装帧:平装

isbn号码:9787561738115

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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深入探索微积分的奥秘：大学微积分核心概念与应用 本书聚焦于为理工科学生、数学爱好者以及准备深入学习高等数学的读者，提供一套全面、深入且富有启发性的微积分学习体验。我们旨在超越传统教材的枯燥叙述，通过清晰的逻辑推导、丰富的实例分析和前沿的应用展示，构建起坚实的微积分理论基础和强大的问题解决能力。 --- 第一部分：极限与连续性——构建微积分的基石 本部分是理解整个微积分体系的逻辑起点。我们不仅仅停留在 $epsilon-delta$ 语言的机械应用，而是致力于揭示极限背后的深刻几何直觉和分析意义。 第一章：极限的严谨定义与几何意义 函数的极限概念重构： 详细剖析 $epsilon-delta$ 定义，并引入度量空间中极限的初步思想，为更抽象的分析打下基础。讨论单侧极限、无穷极限以及在特定点或趋于无穷时的行为。 序列的收敛性与柯西列： 深入探讨实数序列的极限性质，着重讲解单调有界定理和柯西收敛准则。这部分内容是理解完备性公理的关键，并直接联系到函数序列的均匀收敛。 函数的连续性： 区分点态连续与一致连续性。通过实例展示两者区别的重要性，例如在区间上连续函数与一致连续函数在区间端点行为上的差异。重点阐述介值定理和极值定理的普适性证明。 第二章：导数的定义与微分学基础 导数的本质： 从瞬时变化率和切线斜率的几何意义出发，严谨定义导数。探讨导数存在的充要条件与函数可微性的深刻含义。 微分的概念： 区分微分 $dy$ 与 $Delta y$，阐明微分在近似计算中的核心作用。介绍高阶微分的概念及其在泰勒展开中的地位。 微分中值定理的深度解析： 详细论证罗尔定理、拉格朗日中值定理（平均值定理）和柯西中值定理。着重于其在证明不等式、分析函数凹凸性及级数收敛性中的应用。 --- 第二部分：微分学的深入应用与分析 本部分将理论知识转化为解决实际问题的强大工具，涵盖了从曲线描绘到优化问题的全面覆盖。 第三章：导数的应用——函数分析的艺术 函数的性态分析： 利用一阶导数判断函数的单调性、极值点；利用二阶导数判断函数的凹凸性、拐点和曲率。通过严谨的分析过程，精确描绘复杂函数的图像。 洛必达法则的适用范围与局限： 不仅教授如何应用洛必达法则处理 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$ 型不定式，更深入探讨当函数不满足条件（如导数不存在或极限不存在）时，错误应用洛必达法则导致的陷阱。 隐函数与参数方程求导： 详细介绍在复杂关系中如何利用链式法则进行隐函数求导，并探讨二阶导数的计算，为微分几何奠定基础。 第四章：泰勒级数与函数逼近 泰勒定理与拉格朗日余项： 严谨推导泰勒定理，并重点分析拉格朗日余项和佩亚诺余项的几何和分析意义，理解有限次展开的误差界限。 常见函数的幂级数展开： 系统推导 $e^x$, $sin x$, $cos x$, $ln(1+x)$ 等基本函数的麦克劳林级数。 函数的级数表示与解析性： 讨论函数能否展开为幂级数（解析函数）的条件，以及利用级数展开进行极限计算和定积分求解的技巧。 --- 第三部分：积分学——量化累积效应 本部分从黎曼和的构建出发，系统地讲解定积分和不定积分的理论，并探讨积分在物理和几何中的实际意义。 第五章：黎曼积分的理论基础 定积分的定义与性质： 详细阐述黎曼上和、下和的概念，引入上确界和下确界的思想，严谨地定义黎曼可积性。讨论可积函数的类别（如连续函数、单调函数）。 牛顿-莱布尼茨公式的证明与意义： 深入剖析微积分基本定理的两个核心部分，理解求导与积分的互逆关系，这是连接微分学与积分学的桥梁。 定积分的应用： 覆盖面积、体积（旋转体、截面法）、弧长、曲面面积以及质心、转动惯量等经典应用。强调物理背景与数学模型的对应关系。 第六章：积分技巧与不定积分的求解 基本积分技巧： 集中训练换元法、分部积分法的灵活运用。 有理函数积分： 详尽讲解如何利用待定系数法进行多项式的部分分式分解，实现复杂有理函数的积分。 三角代换与三角有理式积分： 介绍欧拉三代换等高级技巧，处理根式或复杂三角函数形式的积分。 第七章：反常积分与积分的应用拓展 反常积分（广义积分）： 区分第一类（积分区间为无穷）和第二类（被积函数在区间内有无穷间断点）反常积分。讨论其收敛判别法（类比级数判别法）。 积分在概率论中的初步应用： 简要介绍概率密度函数、期望值与方差的积分定义，展示微积分在统计学中的基础作用。 --- 第四部分：多元微积分初步——迈向高维空间 本部分将一元微积分的概念推广到 $mathbb{R}^n$ 空间，为学习向量分析和多变量函数打下坚实基础。 第八章：偏导数与方向导数 多变量函数的极限与连续性： 探讨二维和三维空间中函数的极限概念，强调路径依赖性在判断极限不存在性中的关键作用。 偏导数的计算与几何解释： 将偏导数理解为沿着坐标轴方向的变化率。 方向导数与梯度向量： 深入理解方向导数，并精确定义梯度 $ abla f$。阐述梯度向量指向函数增长最快的方向这一核心几何性质。 第九章：多元函数的极值与链式法则 多元链式法则： 详细推导不同变量依赖关系下的链式法则，这是进行隐函数求导和坐标变换的基础。 多元函数的极值判定： 引入海森矩阵（Hessian Matrix），运用二阶偏导数判别法（二元函数）确定函数的局部极值点。 拉格朗日乘数法： 讲解如何利用拉格朗日乘子法解决带等式约束条件的极值优化问题，这是优化理论的基石。 本书的特色在于： 1. 理论的深度与广度并重： 每一概念的引入都伴随着严谨的数学证明，确保读者不仅“知道怎么算”，更“理解为什么”。 2. 数学与物理的交叉： 大量精选自力学、电磁学和工程学中的经典例子，展示微积分解决真实世界问题的能力。 3. 面向挑战的思维训练： 包含大量需要综合运用多章节知识的“综合分析题”，旨在培养读者进行复杂函数分析和问题分解的能力。 通过本书的学习，读者将能以解析分析的视角重新审视微积分，为后续学习如实分析、微分方程和复变函数等课程做好充分准备。

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这本书的排版设计非常清晰，虽然内容密集，但通过合理的留白和字体选择，保证了阅读的舒适度。我特别关注了书中对不同题型的分类标准，感觉作者是基于多年的教学经验，将那些容易混淆的知识点巧妙地划分开来，形成了一个结构化的知识地图。每个专题的引入都有一个“知识点回顾”，这部分总结得极其精炼，是快速定位和复习核心概念的利器。更值得称赞的是，它对一些“陷阱”和常见错误进行了专门的标注，这些经验之谈比书本上的标准定义来得更实在，有效避免了我掉入那些重复的坑里。如果说有什么小小的遗憾，那就是部分图表的印刷清晰度，在扫描到一些特别复杂的几何图形时，细节略显模糊，如果能用更精细的墨点印刷，体验会更完美。

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这本书给我的最大感受是“系统性”和“前沿性”的完美结合。它不像市面上很多零散的习题集，只是罗列了一堆难题，而是构建了一个完整的知识体系，从基础原理出发，逐步构建起解决复杂问题的工具箱。特别是关于微积分在不等式证明中的应用那几章，处理得尤为精彩，它没有停留在高中课本的表面，而是深入挖掘了分析学思想在竞赛中的应用深度。读完后，我感觉自己对数学的理解层次得到了质的飞跃，不再是零散的知识点记忆，而是一个可以互相联通的整体网络。这本书无疑是为那些志存高远，真正想在数学竞赛中取得突破的学子准备的，它不仅仅是教你解题，更是在塑造你的数学思维框架，引导你思考如何构建一个更优雅、更普适的解题路径。

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坦率地说，这本书的难度曲线设置得非常陡峭，对于初接触竞赛数学的同学来说，可能一开始会感到有些吃力。前几个章节的知识点铺垫相对稳健，但一旦进入到那些需要高度抽象思维的专题，比如数论或组合优化，内容的密度和深度瞬间增加，让人不得不放慢速度，反复咀嚼。我花了比预期更多的时间去消化每一部分，有好几次都想直接跳到后面的解析去看答案，但最终还是强迫自己去推导。这种挑战性是双刃剑，一方面它确实能够极限激发潜力，让你突破舒适区；另一方面，如果基础不牢，可能会产生挫败感。我建议，配套一本基础巩固的读物一起使用，这本书更适合作为冲刺阶段的利器，而不是入门砖。

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这本书的封面设计得很有品位，简约而不失力量感，黑白灰的配色很符合高中数学的严谨气质。拿到手里，感觉分量十足，装帧质量看起来很扎实，应该能经受住高强度的翻阅和使用。我特别喜欢它那种沉稳踏实的感觉，不像有些教辅书那样花里胡哨，一看就知道是下了真功夫的。书页的纸张手感也很棒，那种略带哑光的质感，长时间阅读眼睛也不会太累。不过，我注意到目录的编排方式稍微有点跳跃，如果能更平滑地引导读者从基础概念过渡到高级专题，或许会更友好一些。但总体来说，从第一印象来看，这是一本用心制作的书，光是拿在手里把玩一番，就已经能感受到作者对教学质量的追求了。我对里面的内容充满期待，希望它能真正帮我突破那些困扰我已久的数学难点。

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这本书的讲解风格堪称一绝，它不是那种填鸭式的教学，而是更像一位经验丰富的老教师，循循善诱，在你迷茫的时候给出精准的指引。我尤其欣赏作者在处理那些复杂定理和公式时的拆解过程，每一步都像剥洋葱一样，层层递进，让你清晰地看到逻辑的脉络，而不是简单地堆砌公式。很多以前觉得晦涩难懂的概念，通过书中的图示和类比，一下子就变得豁然开朗。特别是那些经典的例题分析，简直就是艺术品，作者不仅展示了如何解题，更重要的是揭示了背后的数学思想，这种“授人以渔”的教育理念，在很多教辅中是很难得一见的。读这本书的过程，与其说是学习知识，不如说是在进行一场高质量的思维训练，让我学会了用更深层次的视角去审视问题。

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高层次竞赛的精简入门版，物理的张大同那一版很好

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