考研数学应试导引与进阶――微积分（下） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:清华大学出版社

作者:谭泽光

出品人:

页数:256

译者:

出版时间:2004-7-1

价格:24.00

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787302089292

丛书系列:

图书标签:

• 考研数学
• 微积分
• 高等数学
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• 数学应试

进阶微积分理论与应用：严谨性、深度与实践并重 本书定位： 本书旨在为具备扎实微积分基础（通常指完成一元微积分学习，并初步接触多元微积分概念）的学生提供一个深入、严谨且富有应用性的学习资源。它并非初级教材，而是面向希望在理论深度、方法掌握和实际问题解决能力上实现质的飞跃的学习者。我们将超越标准课程的广度，专注于那些决定理解力和解题效率的关键性、易混淆和高难度领域。 核心内容模块： 第一部分：多元微积分的结构化深化 (Structure and Deepening of Multivariable Calculus) 本部分将对多元函数进行系统、精细化的重构，强调几何直觉与分析严谨性的统一。 1. 向量场与偏导数的深入剖析： 方向导数的几何意义与物理诠释： 探讨梯度场在不同坐标系下的具体表示，以及其在势场理论中的核心作用。区别于初级教材的简单计算，我们将详细分析梯度向量场为保守场的充要条件，并引入流线和等势面的关系。 高阶偏导数与Hessian矩阵的性质： 深入研究二阶偏导数的连续性（Schwarz定理的严格证明与应用限制），Hessian矩阵的定义、性质（正定、负定、不定）及其与函数局部极值、鞍点的精确判别标准。我们将探讨Hessian矩阵在线性化近似中的作用，并介绍泰勒公式在多元函数中的扩展。 2. 多元函数的积分理论： 重积分的坐标变换原理与技巧： 不仅限于直角坐标和极坐标，重点讲解椭圆坐标、柱坐标（三维）和球坐标的推导过程、雅可比行列式的计算，以及在不规则区域积分时的选择策略。特别强调坐标变换的可逆性要求。 线积分与面积分（曲面积分）的严格区分与联系： 线积分（第一类与第二类）： 详细区分质量与路径相关的物理意义，并引入保守场的线积分路径无关性定理的严格证明。 曲面积分： 深入探讨曲面的参数化表示，区分“穿过”曲面的流量（通量）与“附着在”曲面上的面积积分。重点分析曲面法向量的选取对结果的影响。 第二部分：矢量分析的宏伟统一（The Grand Unification of Vector Calculus） 本部分是本书的理论核心，旨在让读者深刻理解三大基本定理（格林、斯托克斯、高斯/散度）的内在联系及其在物理定律中的体现。 1. 格林公式的几何基础与推广： 格林公式的二维积分推导： 采用分部积分法对二维区域上的线积分进行严格推导，揭示其与曲面积分（二维意义下）的等价性。 应用案例： 利用格林公式计算平面面积、形心以及保守场在简单闭合曲线上的环量。 2. 斯托克斯公式的旋转本质： 旋度（Curl）的物理意义： 从流体力学的“涡度”概念出发，阐释旋度是衡量向量场旋转倾向的量。 曲面积分与环量的转化： 详细演示斯托克斯公式（Stokes' Theorem）如何将一个曲面上的旋度积分转化为该曲面边界上的线积分，并提供在电磁学（法拉第电磁感应定律的积分形式）中的直观解释。 3. 散度定理（高斯公式）的“守恒”视角： 散度（Divergence）与通量的关系： 阐释散度代表场源的强度，是场源密度在体积积分上的体现。 高斯公式的严格推导： 建立封闭曲面上的通量积分与曲面内体积上散度积分之间的桥梁。重点讨论其在流体静力学、电场中的应用。 三大定理的相互关系： 分析斯托克斯公式和高斯公式如何通过特定的维度选择或场量的选取，退化或推广到格林公式，形成一个统一的框架。 第三部分：微积分的高级工具与进阶主题 (Advanced Tools and Topics) 本部分针对那些在解决复杂工程、物理问题时不可或缺的高级技术。 1. 坐标系下的微分算子： 拉普拉斯算子 ($ abla^2$)： 在直角、柱面和球面坐标系下的具体表达式推导。讨论拉普拉斯方程（Laplace's Equation）在热传导、静电学中的重要性，及其在特定边界条件下的解的性质（如唯一性）。 梯度、散度、旋度在不同坐标系下的张量表示简介。 2. 曲线积分在物理中的精确应用： 保守场与势能： 严格证明一个向量场是保守场当且仅当其旋度为零（在单连通区域内）。将保守场与势能函数建立一对一的对应关系，重点处理势能的确定与计算。 功的计算： 结合线积分计算变力在曲线上的做功问题，强调路径选择对计算复杂度的影响。 3. 级数方法的深化应用（选讲与拓展）： 虽然函数序列与级数通常在微积分上册讲解，但本书将补充其在多元函数展开中的应用：傅里叶级数在解决偏微分方程边值问题中的初步应用，以及幂级数在特殊函数（如贝塞尔函数、勒让德多项式）定义中的出现。 本书特色与读者目标： 本书的编写风格注重分析的严谨性和概念的清晰度。例题选择上，侧重于那些需要巧妙运用坐标变换或三大定理才能简化的复杂问题，而非机械的计算。我们假定读者已经熟悉基本的积分技巧，目标是培养读者从“计算者”向“问题建模者和理论分析者”的转变。通过本书的学习，读者将能够自信地处理工程、物理或更高阶数学课程中遇到的所有多元微积分难题。

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这本书的配套资源似乎也考虑得比较周全，至少从我接触到的部分来看，能够有效地弥补纯文字教材在某些方面的局限性。虽然我还没完全深入到所有章节，但光是前几章的某些定理的几何意义的插图和示意图，就比我以前看过的任何材料都要精妙。它们不是那种简单的线条图，而是能够动态地展示变量变化对函数图像影响的辅助图形。这对于理解像偏导数、方向导数这类多维空间中的概念，起到了关键性的支撑作用。而且，书本中还多次提及了可以参考的在线资源或视频讲解，这让它在传统纸质媒介的基础上，又拓展了数字化学习的维度，形成了一个比较完整的学习闭环。

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与其他我翻阅过的几本同类参考书相比，这本书在概念的阐述上，显得尤为细腻和人性化。很多时候，教材上的定义晦涩难懂，需要反复阅读才能勉强理解其中三味。但这本书的作者似乎非常懂得初学者的困惑点在哪里，他会用很多通俗易懂的语言来解释那些抽象的数学术语，甚至会引用一些生活中的例子来辅助说明。举个例子，在解释某些收敛性的判断标准时，作者没有直接抛出复杂的判别法，而是先用一个类比，比如“一艘船在航行，船速越来越慢，但只要总路程没有超过港口的距离，它最终还是能靠岸”，这样的比喻一下子就让那个原本抽象的极限概念变得具体可感。这种对读者“心智模型”的照顾，实在是非常难得。

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这本书的习题设置非常具有层次感和针对性，这一点在我做题的时候感受特别深刻。它不像有些教材那样，后面的题目只是前面题目的数字变化。这里的习题明显是经过精心挑选和设计的，难度梯度过渡得非常自然。开头的巩固性练习，主要是为了确保你对基本概念和公式的掌握程度，做得很快，很有成就感。紧接着是应用型和综合性的题目，这些才是真正考验你是否能灵活运用知识的试金石。我发现很多题目都不是教科书上的标准题型，而是巧妙地结合了不同章节的知识点，迫使你必须进行知识整合。做完一套下来，会有一种酣畅淋漓的感觉，而不是机械地计算，真正体会到了“学以致用”的含义。

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初次翻阅这本书，我最大的感受就是它的逻辑链条构建得极其严密，简直像是一个精心编织的数学迷宫，每一步的衔接都找不到任何瑕疵。作者似乎对高等数学这门学科的内在联系有着近乎偏执的理解，他不是简单地堆砌知识点，而是将它们有机地串联起来，让你能清晰地看到“为什么是这样”而不是“记住它是这样”。比如在讲解多元函数的极值问题时，它没有急于给出公式，而是先从几何直观入手，再逐步过渡到拉格朗日乘数法的理论基础，整个过程循序渐进，仿佛手把手带着你走过了一个完整的思考路径。对于我这种习惯深究原理的读者来说，这种处理方式简直是如沐春风，极大地满足了我对知识本质的探求欲。

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这本书的装帧设计挺有意思的，封面是那种深沉的蓝色，配上白色的字体，看着就觉得很专业，很有学习的氛围。拿到手里沉甸甸的，感觉内容一定很扎实。书的纸质摸上去也挺光滑的，印刷字迹清晰锐利，不像有些书那么刺眼，长时间看也不会太累。内页的排版布局也做得不错，公式和图表都安排得井井有条，逻辑性很强。尤其是一些复杂的证明过程，作者很巧妙地用不同的缩进和标注来区分不同的步骤，这一点对于我们理解那些绕来绕去的数学推导非常有帮助。从这个角度来说，这本书在硬件和视觉呈现上，绝对是下了功夫的，能让人在阅读时保持一个比较愉悦的心情。当然，一本教材光好看是不够的，但良好的阅读体验是学习的敲门砖，这点这本书做得挺到位。

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