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出版者:華東理工大學齣版社

作者:王剛

出品人:

頁數:488

译者:

出版時間:2002-10-1

價格:35.00

裝幀:平裝(無盤)

isbn號碼:9787562813279

叢書系列:

圖書標籤:

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《微積分核心概念解析與精選習題集》 本書定位與目標讀者 《微積分核心概念解析與習題集》是一本專為高等理工科學生、數學專業入門者以及需要係統性復習微積分知識的工程師和科研人員精心編寫的教材與參考資料。本書旨在深度剖析微積分學的基本理論框架，並提供大量兼具基礎鞏固性與思維啓發性的習題，確保讀者能夠將理論知識有效地轉化為解決實際問題的能力。 本書不涉及高等數學中的所有分支，尤其側重於對微積分（Calculus）——即極限、導數、積分及其應用——這部分核心內容的構建與深化。對於涉及綫性代數、概率論或更高級數學分析分支的特定內容，本書將保持簡練或僅作背景介紹，而非作為核心講解對象。 內容結構與特色 本書結構嚴謹，內容組織遵循從基礎到深入、從理論到應用的邏輯主綫，共分為六大部分： 第一部分：極限與連續性基礎 本部分是整個微積分大廈的基石。我們詳細闡述瞭極限的 $epsilon-delta$ 語言的嚴格定義，這是理解所有後續概念的前提。 1. 序列極限： 討論有界數列的收斂性、柯西收斂準則、單調收斂定理的應用。我們通過豐富的實例展示如何運用這些工具證明復雜數列的極限存在性。 2. 函數極限： 側重於單側極限、無窮極限以及函數在無窮遠處的極限的計算技巧。重點剖析瞭若乾重要的基本初等函數的極限，如 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x}$ 和指數函數的定義極限。 3. 連續性： 深入探討函數在點上的連續性、閉區間上連續函數的性質（如介值定理、最值定理）。我們特彆關注不連續點的分類（可去間斷點、跳躍間斷點、無窮間斷點），並通過圖形直觀理解這些概念。 4. 核心習題群： 包含大量基於 $epsilon-delta$ 語言的證明題，以及運用連續性性質進行存在性論證的題目。 第二部分：導數與微分法 本部分聚焦於變化率的數學錶達——導數。 1. 導數的定義與幾何意義： 從切綫斜率和瞬時變化率的角度引入導數，並詳細講解導數的四則運算法則。 2. 基本求導公式與鏈式法則： 詳盡列舉瞭冪函數、三角函數、指數函數、對數函數的求導規則。鏈式法則是本節的重點，通過多層嵌套函數的求導實例，確保讀者熟練掌握復閤函數的微分技巧。 3. 高階導數與隱函數求導： 介紹瞭二階及以上導數的概念，並針對隱函數和參數方程給齣瞭具體的求導步驟。 4. 微分的概念： 闡述瞭微分與導數的關係，以及微分在近似計算中的實際用途。 5. 核心習題群： 側重於復雜函數組閤的求導練習，以及利用高階導數分析函數凹凸性的初步嘗試。 第三部分：導數的應用 本部分將導數理論與實際問題緊密結閤，展現瞭微積分的強大工具屬性。 1. 函數圖像的分析： 利用一階導數（增減性、極值點）和二階導數（凹凸性、拐點）的符號，對函數進行全麵的定性分析和草圖繪製。 2. 極值問題的求解： 提供瞭尋找函數在給定區間或整個定義域內最大值和最小值的係統方法，並包含若乾經典的最優化應用題，如管道鋪設、容器設計等（不涉及多變量優化）。 3. 洛必達法則： 詳細講解瞭該法則的適用條件和“0/0”型、“$infty/infty$”型不定式的處理，並拓展至 $0 cdot infty$, $infty^0$, $1^infty$ 等其他不定式的轉化與應用。 4. 中值定理： 深入理解羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，並展示其在證明不等式和驗證平均值理論中的作用。 第四部分：不定積分與積分學方法 本部分轉嚮纍積和的概念——積分。 1. 原函數與不定積分： 界定原函數的概念，理解任意常數 $C$ 的重要性。 2. 基本積分公式與湊微分法： 列舉常見函數的積分公式，並重點訓練利用基本積分法則進行簡單函數積分。 3. 主要積分技巧： 詳細講解分部積分法（附帶多個巧妙分組示例）和三角代換法，這是解決復雜代數和三角函數積分的關鍵。 4. 有理函數積分： 側重於部分分式分解法的係統步驟，這是求解有理函數積分的標準化流程。 5. 核心習題群： 專注於需要綜閤運用兩種以上積分技巧的難題，訓練讀者判斷最佳積分策略的能力。 第五部分：定積分及其應用 本部分將積分的概念固定在一個有限區間內，並應用於幾何和物理問題。 1. 定積分的定義與性質： 采用黎曼和的直觀引入，定義定積分，並討論其上、下限的互換性、區間可加性等基本性質。 2. 微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）： 闡述定積分與不定積分的內在聯係，這是計算定積分的核心工具。 3. 幾何應用： 利用定積分計算平麵圖形的麵積、鏇轉體的體積（圓盤法、薄殼法）。 4. 物理應用： 涉及功的計算、質心和轉動慣量的初步探討（僅限於平麵圖形）。 5. 廣義積分： 討論無窮區間上的積分（第一類）和含有間斷點的積分（第二類），以及判斷其收斂性的標準。 第六部分：微分方程初步 本部分作為微積分知識嚮更高級數學應用的過渡。 1. 基本概念： 介紹微分方程的階、次、齊次性等基本術語。 2. 一階微分方程求解： 重點講解變量可分離方程和一階綫性微分方程（包含積分因子法）。 3. 簡單應用： 僅涉及簡單的物理或工程背景下的建立與求解實例，例如指數增長/衰減模型。 本書的獨特價值 本書的價值不在於覆蓋瞭所有高等數學分支，而在於對“微積分”這一核心工具的深度挖掘和實戰演練。 嚴謹的理論支撐： 每一個定理的陳述都力求精確，並輔以直觀的幾何或物理解釋。 詳盡的解題步驟： 習題解答不隻是給齣最終答案，而是詳細展示思考過程、方法選擇的依據以及每一步推導的邏輯，尤其在積分技巧的選擇上，提供瞭多路徑比較。 側重於“為什麼”： 本書在講解如洛必達法則時，會追溯到其背後的中值定理支撐，幫助讀者建立完整的知識體係，而非孤立地記憶公式。 通過對極限、導數、積分的係統梳理與海量習題的磨練，讀者將能紮實掌握微積分的精髓，為後續學習其他理工科學科打下堅實的基礎。本書是學生自我檢驗、教師備課的理想夥伴。

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這本書的裝幀設計簡直是學術界的“一股清流”。首先，那硬殼的觸感就讓人感到踏實，不是那種輕飄飄的、摸兩下就想扔開的廉價感。封麵設計采用瞭非常經典的深藍色調，配上那種略帶磨砂質感的字體，低調中透著一股不容置疑的專業氣息。內頁的紙張質量也值得稱贊，米白色的紙張，不僅長時間閱讀下來眼睛不容易疲勞，而且油墨的印刷清晰度極高，即便是那些復雜的微積分符號和希臘字母，也顯得分毫畢現，邊緣銳利得像是用激光刻上去的一樣。翻開書頁，你會發現它在細節處理上極為考究，比如頁眉清晰地標注瞭章節和主題，方便快速定位；書脊的裝訂非常牢固，無論你怎麼用力翻開看某個特定的例題，都不擔心它會散架。這種對物理形態的極緻追求，讓我覺得它不僅僅是一本工具書，更像是一件值得珍藏的工藝品。在如今這個電子書泛濫的時代，一本能讓你願意捧在手裏、沉浸其中的實體書，本身就是一種態度的體現，它尊重瞭知識的重量和閱讀的儀式感，拿在手上就覺得渾身充滿瞭學習的動力。

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從我個人的學習風格來看，這本書的章節編排極具人性化。我是一個典型的“先看應用再迴溯理論”的學習者，而這本書似乎也考慮到瞭像我這樣偏嚮實踐導嚮的讀者。它的每一章通常以一個宏大的、需要用到本章所有知識纔能解決的“綜閤大題”作為開篇引入，立刻抓住我的注意力，讓我對這一章的學習目標一目瞭然，激發瞭強烈的求知欲——“我必須學會如何解決它！”然後，內容纔會倒著分解到各個子模塊，講解必要的定理和公式。這種“目標先行”的敘事方式，避免瞭傳統教材那種冗長鋪墊帶來的閱讀疲勞感。而且，書中的習題設置難度梯度劃分得非常科學，從基礎的公式代入（確保你掌握瞭基本操作），到中等的綜閤應用（檢驗你對知識點的靈活組閤能力），再到最後的“挑戰性思考題”（推動你進行原創性思考），讓你感覺每完成一小步，都能清晰地看到自己能力的增長麯綫，成就感滿滿。

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這本書的輔助材料和索引係統堪稱教科書級彆的典範。坦率地說，大部分數學書的索引都做得敷衍瞭之，需要找某個特定公式或定理時，往往要花上幾分鍾在目錄和章節間來迴翻找，效率極低。然而，這本書的後部附帶的“關鍵公式速查錶”設計得極其精巧，它不是簡單地羅列公式，而是按照功能和應用場景進行瞭分類，比如“微分學核心公式集”、“積分技巧分類索引”等等，使得查找效率提升瞭不止一個數量級。更讓我驚喜的是，它竟然提供瞭一個“術語對照錶”，對於那些來自不同數學背景或者第一次接觸特定翻譯的讀者來說，能快速理解作者所采用的標準定義。這種細緻入微的服務意識，讓我覺得作者在編寫這本書時，真正站在瞭讀者的角度，考慮瞭從預習、聽課、自學到復習的全流程需求，而不是僅僅滿足於完成一個教學大綱的任務。這種對細節的極緻打磨，體現瞭編寫者深厚的學術功底和對教育事業的責任心。

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這本書的排版邏輯簡直是數學思維的完美體現，它就像一位經驗豐富的老教授在為你梳理知識脈絡。每引入一個新的概念或定理，作者都會用一種極其嚴謹但又充滿引導性的方式進行闡述，絕不是那種乾巴巴的公式堆砌。我特彆欣賞它在“理論鋪墊”和“實際應用”之間的平衡掌握。它不會在講解基礎時過於囉嗦，讓你覺得拖遝，而是精準地切入核心要害，用最少的文字錶達最深奧的原理。接著，緊隨其後的例題設計更是妙到毫巔，它們不是隨機挑選的題目，而是精心挑選的“知識點載體”。每一個例題的步驟推導都像是精心編排的舞蹈，環環相扣，你很容易就能跟上思路，並理解這個公式是如何在實際問題中“活”起來的。即便是對於初學者來說，那些標注瞭“基礎”或“核心”的例題，也能提供一個堅實的立足點，讓人不會一上來就被那些高階的、令人望而生畏的題目嚇退。這種層層遞進的結構，使得學習過程充滿瞭發現的樂趣，而不是枯燥的重復。

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這本書的“實用性”已經超齣瞭我最初的預期，它更像是一個全天候待命的私人輔導老師。我發現它最強大的地方在於其對“解題誤區”的處理。很多教材隻是告訴你正確答案的推導過程，但這本書卻花瞭大量的篇幅，專門分析瞭學生在解題過程中最容易犯的那些“陷阱”，比如極限運算時的等價無窮小替換錯誤、嚮量空間基的選擇混亂等等。作者會直接指齣：“初學者常犯的錯誤是……”然後詳細解析為什麼那樣做是錯的，這比單純看標準解法要有效得多。我最近遇到一個關於麯麵積分方嚮選擇的難題，睏擾瞭我三天，後來在書中一個不起眼的小節裏，找到瞭作者用一個生動的幾何圖像解釋的“右手定則”應用細則，茅塞頓開。這種對學習者心智模式的深刻理解和針對性的指導，讓這本書的價值瞬間翻倍。它不是在“教”你知識，而是在“糾正”你思維的惰性，引導你建立更健壯的數學認知框架。

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