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出版者:浙江大学出版社

作者:邵剑

出品人:

页数:377

译者:

出版时间:1998-08

价格:25.00元

装帧:平装

isbn号码:9787308020473

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《拓扑学基础与应用实例》 本书导览： 本书旨在为数学、物理、工程及计算机科学等领域的学生和研究人员提供一个全面而深入的拓扑学入门。我们摒弃了纯粹抽象的、只关注公理化定义的叙述方式，转而采用一种以几何直觉和实际应用为导向的讲解模式。全书共分六大部分，层层递进，旨在帮助读者建立坚实的理论基础，并掌握将拓扑学思想应用于解决具体问题的能力。 第一部分：预备知识与基本概念的建立 本部分是全书的基石。我们首先回顾了实数系统、集合论以及基础范畴论中的必要知识点，确保读者具备必要的数学语言能力。随后，我们引入了拓扑学的核心概念：拓扑空间。我们不会立即陷入复杂的定义，而是通过对度量空间（如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$）的开球、闭球、开集和闭集的直观理解入手，逐步推广到抽象的拓扑结构。 重点阐述了开集、闭集、邻域、开核、闭包和边界的性质。我们将大量的篇幅用于解析点集拓扑的直观意义，例如，如何通过拓扑结构来定义“接近性”，而无需依赖距离的概念。此外，我们详细讨论了特殊拓扑，如终极拓扑（Trivial Topology）、有限补拓扑、子空间拓扑以及商拓扑的构造，并辅以大量的构造性实例和反例，以区分不同的拓扑属性。 第二部分：分离公理与连续性的精确刻画 分离公理是连接拓扑学与传统分析学的重要桥梁。本部分系统地探讨了 $T_0, T_1, T_2$（Hausdorff，豪斯多夫）以及 $T_3, T_4$（正则、完全正则）分离公理。我们着重分析了豪斯多夫空间在几何上的重要性——例如，为什么在一个豪斯多夫空间中，一个紧致子集的极限点一定是该子集的一部分。 连续函数的概念被提升到拓扑空间的层面。我们用开集的原像来定义连续性，并将其与度量空间中的 $epsilon-delta$ 定义进行对比。本部分深入探讨了连续函数的复合性质、拓扑空间的乘积以及商空间的构造，并结合具体的例子（如圆环、球面）展示商映射如何“粘合”空间的一部分。 第三部分：紧致性、连通性与完备性 紧致性和连通性是拓扑空间最重要的两个全局性质。 在紧致性方面，我们从有限开覆盖的定义出发，详细阐述了紧致性在 $mathbb{R}^n$ 上的表现（Heine-Borel 定理）。我们讨论了紧致集的子集、紧致空间的连续像的性质，并引入了局部紧致性的概念，解释了它在傅里叶分析和泛函分析中的重要性。 连通性的讨论侧重于路径连通性和道路连通性。我们分析了连通空间的分解，并引入了分支（Components）和路径分支的概念。 完备性的讨论则引入了度量空间的背景，详细介绍了Cauchy 序列的概念，并利用Baire 范畴定理（Baire Category Theorem）证明了一些关于稠密子集的深刻结果，这些结果在偏微分方程的解的存在性理论中至关重要。 第四部分：度量、函数空间与变分法入门 本部分将理论与现代数学应用紧密结合。我们首先回归到度量空间的框架，讨论了各种非标准的度量，如离散度量、税吏度量等。在此基础上，我们引入了等距（Isometry）的概念，并探讨了完备度量空间上的Banach 不动点定理，这是数值分析和微分方程中的基石工具。 随后，我们进入函数空间的范畴。讨论了 $C[a, b]$ 上的各种收敛模式（点态收敛、一致收敛），并引入了均匀范数（sup norm）。我们将拓扑学的工具应用于函数空间，以几何化的视角理解函数序列的收敛性，为后续学习泛函分析打下坚实的拓扑基础。 第五部分：代数拓扑的初探——同伦与基本群 这是本书最具几何直觉的部分，将拓扑结构与代数结构相连接。我们介绍了同伦（Homotopy）的概念，将拓扑形变视为一种等价关系。 核心内容集中于基本群 $pi_1(X, x_0)$ 的构造。我们详细讲解了如何通过道路的乘法和逆运算来定义群运算，并证明了基本群对空间的选择和基点的选择具有一定的独立性。我们通过计算圆 $S^1$、圆环 $T^2$ 和圆盘 $D^2$ 的基本群，展示了如何用代数工具区分拓扑上不同的空间（例如，证明圆盘不是欧几里得空间 $mathbb{R}^2$ 的收缩形）。 第六部分：黎曼几何与微分流形的拓扑视角 最后一部分将拓扑学延伸至光滑结构。我们定义了微分流形（Manifold）的概念，解释了为什么需要图集（Atlas）和转移函数来局部地描述弯曲的空间。 我们讨论了流形上的切空间的概念，并从拓扑学的角度审视了嵌入定理和浸没定理。本部分以紧致曲面分类为收尾，展示了同调群（作为基本群的简化代数工具）如何帮助我们对二维流形进行本质上的分类，从而为读者进入更高级的微分几何和代数拓扑领域做好充分的准备。 本书特色： 本书的叙述风格力求清晰、精确而不失灵动，强调几何图像和直觉的培养。每一章节都配有大量的结构化习题，从基础概念的验证到复杂定理的证明，确保读者能够动手实践所学知识。对于需要更深入探索的读者，我们附带了“进阶思考”栏目，引导其探索张量积、纤维丛等前沿课题。本书旨在成为一本既适合自学，又适合作为高年级本科生或初级研究生“拓扑学导论”课程的参考教材。

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我最近在钻研拓扑学的基础概念，但市面上的教材要么过于偏重纯粹的代数结构，要么就是概念堆砌，缺乏直观的引导。拿到这本号称“专题解析”的书后，我本来是抱着试一试的心态，结果惊喜地发现，它对“流形”和“同胚”的讲解简直是化繁为简的大师手笔。作者没有直接抛出复杂的勒贝格测度或紧致性定义，而是通过一系列精妙的几何类比——从二维的平面变换到三维的扭曲空间，循序渐进地构建读者的直觉框架。特别是关于“布线问题”的阐述，作者竟然引入了城市规划和管道布局的实际工程案例，将抽象的拓扑不变量与现实世界的约束条件巧妙地联系起来。书中大量的图示，都不是那种标准化的、冷冰冰的教科书插图，而是带有作者个人风格的、手绘质感的示意图，有些线条甚至故意留有笔触的粗粝感，反而增强了对空间感和边界感的把握。这种“以意传形”的教学方法，远比纯粹的符号推导来得有效得多，让我对那些晦涩难懂的拓扑性质，有了一种“心领神会”的豁然开朗。

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这本书的附录部分堪称是点睛之笔，真正体现了“专题解析”的价值所在。我特别留意了关于“黎曼几何基础”的那一节。通常情况下，这部分内容会被放在研究生教材的最后，且极其简略。但在这里，作者用接近一本书的篇幅，详细讲解了“张量”这一核心工具的几何意义。他没有从坐标变换的复杂矩阵运算开始，而是首先引入了“切向量场”和“协变微分”的物理直觉——比如描述物体在弯曲表面上运动时的“惯性漂移”。书中对“度规张量”的讲解，更是将欧氏空间中的勾股定理推广到了任意弯曲空间，并通过可视化的方式展示了测地线是如何“自然地”连接两点的。这种从物理世界的问题出发，反向构建数学工具链条的叙事方式，彻底打破了我过去对几何学“先公理化，后推导”的刻板印象。它让我深刻理解到，高等数学中的每一个复杂概念，都是为了解决某个特定层面的、看似简单的“测量”或“描述”问题而生的，其内在逻辑的统一性令人叹服。

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作为一名致力于将高等数学应用于金融量化模型构建的研究生，我发现很多教材在“随机过程”和“偏微分方程”的交叉领域往往处理得非常草率。然而，这本书在介绍金融衍生品定价中的布莱克-斯科尔斯模型时，其深度和广度着实让我刮目相看。它没有满足于仅仅推导那个著名的偏微分方程，而是花了大量的篇幅去探讨该模型成立的几个关键假设——特别是关于市场信息传播的“有效市场假说”在数学模型中的体现。作者甚至加入了一个详细的章节，对比了经典 Black-Scholes 模型与更现代的跳跃扩散模型（Jump-Diffusion Model）在处理极端市场事件时的局限性，并用严谨的随机微积分语言进行了分析。这种将理论工具置于实际应用场景中进行“压力测试”的分析角度，对我日常的工作具有极强的指导意义。它教会我的不是如何解一个方程，而是“为什么”要选择这个方程，以及这个方程在特定市场环境下的“失效边界”在哪里，这才是真正高水平的解析。

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我一直认为，任何严谨的数学著作都应该能经受住“口头复述”的考验，即能否用最简洁、最自然的语言将核心思想传达给非专业人士。这本书在这方面做到了极致的平衡。它在处理“泛函分析”中那些动辄无穷维的向量空间时，没有一味地用复杂的狄拉克符号或算子理论去压制读者，而是巧妙地采用了大量的“类比”和“投影”思维。例如，在解释共轭空间的概念时，作者将其类比为“测量工具”与“被测量对象”之间的适配关系，而不是一个单纯的代数构造。书中穿插了一些非常精彩的“数学史话”，讲述了希尔伯特、冯·诺伊曼等大家在构建这些理论时所经历的思维挣扎。这些小故事不仅调剂了阅读节奏，更重要的是，它们揭示了数学概念是如何在历史的烟云中逐渐“结晶”出来的，这种人性化的视角，极大地降低了学习高等抽象理论的心理门槛。它让我感觉自己不是在被动接受知识，而是在与几代伟大的数学家并肩探索。

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这本书的装帧设计简直是艺术品！封面采用了深邃的午夜蓝，搭配烫金的字体，散发出一种沉稳而高雅的气息。我特地选择了精装版，翻开后发现纸张的质感非常出色，厚实且带有微微的磨砂手感，即使用钢笔书写也不会洇墨。更让我惊喜的是，作者在章节的开头和结尾处，都精心设计了富有哲理的小引语，这些引语并非直接与数学公式相关，而是探讨了数学思维与生活哲学的联系，让人在学习之余，还能获得一些精神上的启迪。比如在介绍完某个复杂的微积分定理后，紧接着引用了一句关于“无限与有限的辩证关系”的古老箴言，这种跨学科的融合，极大地提升了阅读体验。书中的排版布局也十分人性化，字体大小适中，行距松紧得当，即便是长时间阅读也不会感到视觉疲劳。侧边栏还巧妙地设置了“知识点溯源”的小方框，用手绘的插图简要介绍了该理论的历史背景，这让原本枯燥的知识点瞬间变得生动立体起来，仿佛历史长河中的大师们都在耳边低语。

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