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出版者:東方齣版中心

作者:王祥麟

出品人:

頁數:299

译者:

出版時間:1999-08

價格:11.00

裝幀:平裝

isbn號碼:9787806274392

叢書系列:

圖書標籤:

• 平麵三角
• 三角函數
• 解三角形
• 數學學習
• 高中數學
• 競賽數學
• 解題技巧
• 數學輔導
• 基礎數學
• 三角恒等變換

《立體幾何基礎與進階：空間思維的構建與解析》 內容簡介 本書旨在為讀者提供一個全麵、深入且富有啓發性的立體幾何學習體驗。我們深知，立體幾何不僅是數學學科中的一個重要分支，更是培養空間想象力、邏輯推理能力和問題解決技巧的關鍵領域。本書力求打破傳統教材的枯燥與抽象，通過精心編排的理論體係、詳盡的實例分析和富有挑戰性的習題設計，引導讀者真正掌握空間幾何的精髓。 第一部分：基礎概念與直觀構建 本部分著重於建立堅實的幾何基礎，這是後續所有高級主題的立足點。 第一章：空間坐標係與嚮量基礎 我們首先引入三維直角坐標係，詳述點的坐標、嚮量的錶示及其基本運算（加減法、數乘）。重點講解嚮量的幾何意義，特彆是如何利用嚮量的坐標來精確描述空間中的位置關係。 空間嚮量的綫性運算與坐標錶示： 如何在三維空間中進行嚮量的綫性組閤，以及嚮量的模、夾角和投影的計算方法。 點、綫、麵的坐標錶示： 詳細闡述如何用坐標係來描述空間中的點、直綫和平麵，包括它們的一般式、點法式、參數方程等不同形式的轉換與應用。 嚮量的數量積（點乘）與幾何應用： 深入探討點積的物理意義——投影，並將其應用於計算兩嚮量的夾角，以及判斷空間中兩直綫、綫麵、麵麵的垂直關係。 第二章：空間圖形的初步認識與變換 本章側重於培養讀者的空間直覺，將抽象的幾何圖形轉化為可操作的數學模型。 基本立體圖形的特徵： 詳細剖析正方體、長方體、棱柱、棱錐、圓柱、圓錐和球體的定義、性質、錶麵積和體積公式的推導過程。 空間幾何體的截麵： 講解如何通過平麵與立體圖形的交集來構造特定的截麵，例如平行截麵、垂直截麵，以及如何通過剖麵圖來理解復雜結構。 幾何變換基礎： 介紹平移、鏇轉和反射在三維空間中的幾何意義及其對坐標的影響，為後續的對稱性分析打下基礎。 第二部分：綫麵關係與垂直性理論 這是立體幾何的核心難點所在，要求讀者能夠精確地在想象中構建和操作空間元素。 第三章：空間直綫與平麵的關係 本章係統梳理空間中直綫與直綫、直綫與平麵、平麵與平麵之間的所有可能關係（平行、相交、垂直），並給齣嚴格的判定定理和性質定理。 綫綫關係： 異麵直綫、相交直綫、平行直綫的定義、公理和判定方法。尤其關注異麵直綫的公垂綫概念。 綫麵關係： 判定直綫平行於平麵、直綫垂直於平麵的充要條件。重點講解“綫綫垂直”與“綫麵垂直”的相互轉化。 麵麵關係： 平麵之間的平行關係（判定定理）和二麵角（二麵角的度量與計算）。詳細分析二麵角的性質及其在實際問題中的應用。 第四章：空間中的垂與距——正交性原理 本章將“垂直”這一概念深化，是解決最短距離問題的關鍵。 直綫與平麵的距離： 掌握點到平麵、點到直綫（在空間中）的最短距離的計算方法。重點講解如何利用投影和垂綫段的性質來求解。 平行、垂直關係的嚮量化處理： 利用法嚮量的性質，係統地解決所有涉及垂直和距離的幾何問題。嚮量法在此處展現齣無與倫比的精確性和普適性。 空間幾何體的性質判定： 結閤法嚮量，判斷一個幾何體（如棱柱、棱錐）是否具有特殊性質，例如側棱垂直於底麵、側麵垂直於底麵等。 第三部分：度量幾何與嚮量法的深化應用 本部分將理論與計算緊密結閤，展示嚮量法在解決復雜度量問題中的強大威力。 第五章：空間中的夾角與距離的精確計算 本書的核心競爭力之一在於對嚮量計算在幾何中的應用進行深度剖析。 空間中任意兩直綫的夾角： 利用方嚮嚮量計算任意兩條直綫間的銳角，處理異麵直綫夾角的特殊性。 直綫與平麵的夾角： 利用法嚮量與方嚮嚮量的性質，精確計算直綫與平麵之間的夾角。 平麵與平麵的夾角（二麵角）： 再次強調法嚮量在計算二麵角中的核心作用，展示如何通過計算兩個法嚮量的夾角來確定二麵角。 第六章：復雜幾何體的體積與錶麵積 本章將前麵學到的所有知識點綜閤起來，應用於求解復雜立體圖形的度量問題。 棱錐與棱柱的體積計算： 係統迴顧底麵積乘以高的公式，並針對不規則底麵或斜棱柱給齣基於嚮量或微積分思想的分解方法。 鏇轉體的體積（初步介紹）： 簡要介紹圓錐、圓柱和球體的體積公式的幾何推導，為後續學習微積分打下直觀基礎。 幾何體的截麵與體積分割： 探討如何通過一個特定的平麵將一個幾何體分割成兩個或多個具有特定體積關係的部分，如三棱錐的體積公式推導。 第七章：球體幾何與最值問題 球體是三維空間中最基本、最對稱的圖形之一。 球體的性質與截麵： 探討平麵截球所得圓的性質，以及球心到截麵的距離關係。 內接與外切問題： 詳細分析各種規則多麵體（正四麵體、正方體、正棱錐）內切球和外切球的半徑計算方法，這通常涉及巧妙的等體積法或坐標係選取。 空間中的最優化問題： 利用嚮量的性質（如柯西不等式或三角代換的推廣），初步探討如何求解空間中距離和角度的最值問題。 全書特色與學習建議 本書的最大特色在於 “理論的係統性” 與 “方法的實用性” 的完美結閤。我們不滿足於停留在公理和定理的羅列，而是深入挖掘瞭 空間嚮量法 在解決幾乎所有立體幾何問題中的普適性與高效性。 1. 可視化引導： 每引入一個重要定理，都會配有詳細的幾何圖形輔助說明，並輔以清晰的推理步驟。 2. 嚮量法貫穿始終： 從基礎的垂直判斷到復雜的距離和夾角計算，嚮量法被視為解決問題的“萬能鑰匙”，所有關鍵步驟均展示瞭如何從幾何直覺過渡到代數計算。 3. 精選習題體係： 習題設計遵循“由易到難，由錶及裏”的原則，從基礎的計算題到需要綜閤運用多種方法的探究題，確保讀者能夠逐步提升。 本書適閤高等數學預備階段的學生、需要紮實掌握立體幾何基礎知識的理工科新生，以及希望通過係統學習提升空間思維能力的自學者。掌握本書內容，不僅能輕鬆應對幾何考試，更能為學習解析幾何、綫性代數以及工程製圖打下堅實的基礎。

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從整體的閱讀體驗來看，這本書給我帶來瞭一種久違的、對知識體係完整性的滿足感。它似乎沒有留下任何明顯的知識盲區，每一個概念的引入都水到渠成，每一個定理的證明都邏輯嚴密，且易於追蹤。與其他一些隻關注計算技巧的書籍不同，這本書花費瞭相當大的篇幅來建立不同幾何元素之間的內在聯係，比如點、綫、麵是如何相互作用、相互製約的。它構建瞭一個清晰的知識網絡，讓你在學習一個新知識點時，能夠立刻將其放入已有的框架中進行定位，這極大地增強瞭知識的記憶和提取效率。讀完一章，我感覺自己對那個知識點的理解不再是孤立的碎片，而是一個結構完整的體係，這對於任何需要深入理解學科本質的學習者來說，都是莫大的裨益。這本書的深度和廣度，都達到瞭教科書級彆的標準，但其敘述的親切感又使其更像是位良師益友的私藏心得。

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這本書的價值，我認為很大一部分體現在它對“細節”的極緻追求上。很多人在學習幾何時，往往會忽略那些看似微不足道的幾何圖形的特殊性質，比如某個特定的三角形類型，或者在特定條件下，某些綫段長度的相等性。然而，這本書卻將這些“邊緣知識點”放在瞭非常突齣的位置進行闡述。我記得有一個章節專門討論瞭在特定角度限製下的最小化或最大化問題，作者沒有用復雜微積分工具來求解，而是巧妙地利用瞭三角形內角和的限製以及邊角關係的不等式，通過一個非常精妙的構造法得齣瞭結論。這種“用最基礎的工具解決最棘手的問題”的智慧，讓我對幾何的靈活性有瞭全新的認識。它教會我的不僅僅是“怎麼做”，更是“為什麼用這種方法”，這種對解題思想深層邏輯的挖掘，纔是它真正的高明之處。

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這本書的行文風格，說實話，初看之下有些“古闆”，但細品之下，卻能感受到作者深厚的學術功底和對學科精髓的精準把握。作者似乎並不急於展示多麼新穎的花哨技巧，而是沉下心來，將最基礎、最核心的幾何原理闡述得淋灕盡緻。我注意到，在處理某些經典問題時，作者沒有滿足於給齣最常見的解法，而是耐心地探討瞭數種不同的路徑，並且對每種解法的適用條件和潛在優缺點進行瞭深入的比較分析。這種對比分析的深度，遠超瞭我以往閱讀的許多教材。更妙的是，作者非常善於運用一些巧妙的比喻，將抽象的數學概念“具象化”。比如在解釋嚮量投影時，他引入瞭一個光影投射的場景，瞬間就讓那個原本讓人感到有些玄乎的概念變得觸手可及。這種將理論與直觀認識相結閤的寫作手法，極大地降低瞭理解的門檻，讓讀者在掌握嚴謹邏輯的同時，不失對幾何美感的體悟。對於希望打下堅實基礎的人來說，這本書無疑是一座穩固的燈塔。

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我是在為準備一個關於工程測量的筆試而尋找補充材料時偶然發現這本書的。坦率地說，我一開始抱著“姑且一試”的心態，因為市麵上很多同類書籍要麼過於理論化，要麼就是堆砌大量的習題而缺乏係統性的講解。然而，這本書的結構安排卻齣乎我的意料。它似乎非常清楚一個學習者在實際應用中會遇到哪些思維的“卡點”，並提前在章節布局中就進行瞭預判和鋪墊。比如，在介紹正弦定理和餘弦定理的應用時，它不僅僅是羅列公式，而是分門彆類地討論瞭“已知兩邊及夾角”、“已知兩角及一邊”等不同情境下的最優解題策略，甚至細緻到提醒讀者在計算過程中如何避免由角度的模糊性帶來的潛在錯誤。這種“實戰導嚮”的敘述方式，讓我感覺自己不是在讀一本理論書籍，而是在跟隨一位經驗豐富的老工程師學習現場操作的經驗總結。對於急需將理論知識轉化為解決實際問題能力的讀者，這本書提供的視角是極其寶貴的。

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這本書的封麵設計簡潔大氣，那種深邃的藍色調很容易讓人聯想到浩瀚的星空或者深邃的海洋，給我的第一印象是它絕對不是那種輕飄飄的快餐讀物，而是蘊含著某種紮實理論基礎的工具書。當我翻開扉頁時，那種油墨的清香混閤著紙張的微澀感，立刻將我帶入瞭一種專注學習的狀態。排版上，字體大小適中，間距處理得非常人性化，即使是長時間閱讀也不會感到眼睛疲勞。特彆是那些公式的呈現方式，邏輯清晰，層次分明，即使是比較復雜的推導過程，也能通過精心的結構布局，讓讀者一眼就能抓住核心。我個人尤其欣賞它在引入新概念時的那種循序漸進的方式，沒有一上來就拋齣那些晦澀難懂的定義，而是通過一些非常貼近實際生活的幾何場景來引導思考，讓人感覺學習過程是自然而然發生的，而非強行灌輸。這本書的裝幀質量也值得稱贊，書脊的裝訂非常牢固，這對於一本需要經常翻閱和查閱的參考書來說至關重要。整體來看，這本書在視覺傳達和使用體驗上，都體現齣瞭一種對知識的敬畏和對讀者的尊重。

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